考研高数习题(高等数学及其应用)

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高等数学及其应用第二版下册课后习题答案详细

经验网 2014年05月21日

核心提示：本套答案为我学习高数时平时课题作业题答案以及一些考试题答案特别适合考研或者清考复习 重难点突出孝点习题5-13；用向量证明：

本套答案为我学习高数时平时课题作业题答案以及一些考试题答案特别适合考研或者清考复习 重难点突出

孝点

习题5-1

3；用向量证明：三角形两边中点的连线平行于第三变并且等于第三边的一半

证明如下：

三角形OAB中，EF分别是OA、AB中点，连接EF。

设向量OA为a，向量AB为b，则根据向量加法法则，

向量OB＝a＋b，

向量EF＝a／2＋b／2＝（a＋b）／2

所以EF＝1／2*OB，即向量EF‖向量OB，

且根据EF＝1／2*OB，两边取模，得／EF／＝1／2*／OB／

即向量EF的模等于向量OB的模的一半。

5-2

7；试确定m和n的值,试向量a=-2i+3j+nk和b=mi-6j+2k平行

a和b平行，一定存在关系：a=tb，即：(-2i+3j+nk)=t(mi-6j+2k)即：tm=-2，-6t=3，2t=n，即：t=-1/2，m=-2/t=4，n=2t=-1

8；已知点A（-1,2，-4）和点B（6，-2,2）且|AB|=9求Z值

10；已知两点M1（4，根号2,1）和M2（3,0,2）计算向量M1M2的模。方向余弦，方向角

M1M2=(3,0,2)-(4,sqrt(2),1)=(-1,-sqrt(2),1)，故：|M1M2|=sqrt(1+2+1)=2------计算模值可以直接用坐标相减来做。这样做利于后面计算3个方向余弦：cosa=M1M2(x)/|M1M2|=-1/2，故：a=2π/3cosb=M1M2(y)/|M1M2|=-sqrt(2)/2，故：b=3π/4cosc=M1M2(z)/|M1M2|=1/2，故：c=π/3M1M2(x)、M1M2(y)、M1M2(z)分别表示M1M2的x、y、z分量坐标

11；

已知向量a?与各坐标轴成相等的锐角，若|a|=2根号3?，求a?的坐标

习题5-3

1,设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求a·b及a*b;(-2a)·3b及a*b;a与b的夹角

2.设a,b,c为单位向量，满足a+b+c=0.求a*b+b*c+c*a

∵(a+b+c)*(a+b+c)=a?+b?+c?+2ac+2ab+2bc∵a、b、c是单位向量∴a?=1,b?=1,c?=1∴a?+b?+c?+2ac+2ab+2bc=3＋2(ab+bc+ca)

3已知点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1)求

（1）同时与向量AB，AC垂直的单位向量；

（2）三角形 ABC的面积．

AB:(4,-5,0)AC:(0,4,-3)同时与向量AB，AC垂直的向量AB X AC=i j k4 -5 00 4 -3=15i+12j+16k单位向量为：3/5i+12/25j+16/25k面积为：1/2*|AB X AC|=25/2

4，设a=(3,5,-2),b=(2,1,4),问λ与μ有怎样的关系,能使的λa+μb与z轴垂直

λa+μb=(3λ+5λ-2λ)+(2μ+μ+4μ)=(3λ+2μ,5λ+μ,4μ-2λ)z=(0,0,n)垂直，所以 z(λa+μb)=(3λ+2μ,5λ+μ,4μ-2λ)(0,0,n)=0(4μ-2λ)n=0解得 2u= λ

5.试用向量证明直径所对的圆周角是直角

设圆心为〇，直径为AB，直径所对的点为C，证明AC*BC＝0AC＝〇C－〇A，BC＝〇C－〇B因为向量〇A，〇B，〇C的模相等，所以AC*BC＝(〇C－〇A)*(〇C－〇B)＝|〇C|^2＋〇A*〇B－〇C*(〇A＋〇B)＝|〇C|^2＋|〇A|×|〇B|×cos180°－0＝0所以，∠ACB＝90°结论得证.

习题5-4

2，求过点M（3,0，-1），且与平面3X-7y+5z-12=0平行的平面方程

设所求平面方程为3X-7y+5z+A=0;因为过点（3,0，-1），所以3*3-7*0+5*(-1)+A=0;所以A=-4;所以所求的平面方程为3X-7y+5z-4=0

4，求过三点(1,1,-1) (-2,-2,2) (1,-1,2)的平面方程

三点(1,1,-1) (-2,-2,2) (1,-1,2)得向量(3,3,-3)(0,2,-3)则平面方程的法向量∝(3,3,-3)×(0,2,-3)=（-1，3，2）过点(1,1,-1)，且平行于平面方程的向量为(x-1,y-1,z+1)(x-1,y-1,z+1)⊥（-1，3，2）过三点(1,1,-1) (-2,-2,2) (1,-1,2)的平面方程(x-1,y-1,z+1)·（-1，3，2）=0x-3y-2z=0

6，求点(1,2,1)到平面X+2Y+2Z-10=0的距离

d=|1*1+2*2+2*1-10|/(√（1的平方+2的平方+2的平方））=1有公式的：A(x,y,z)点到面的距离=|Ax+By+Cz+D|/Sqrt（A*A+B*B+C*C）=1

9，求满足下列条件的平面方程

（2）过点（4,0,-2）及（5,1,7）且平行于X轴

平行于X轴 ：所以其法向量N垂直X轴 得N在X上的投影为0，所以可设其方程为By+Cz+D=0;则有 -2C+D=0 B+7C+D=0 则D=2C B=-9C 所以有-9Cy+Cz+2C=0 则消去C得 -9y+z+2=0

习题5-5

1，用点向式方程和参数方程表示直线｛x-y+z=0，2x+y+z=4

x-y+z=0的法向量n1为(1,-1,1)2x+y+z=4的法向量n2为(2,1,1)n1×n2 （叉乘）为（-2,1,-1）先求一个点，令z=0,则x-y=0,2x+y=4,二式相加得x=4/3, 代入前式，得y=4/3点向式方程：[x-(4/3)]/(-2)=[y-(4/3)]/1=z/1参数方程：x=(4/3)-2ty=(4/3)+tz=t

5、

求过点（2,1,0）且与直线x-1/1=y-1/-1=z/2垂直相交的直线方程

可求与直线X-1/1=y-1/-1=z/2 垂直的平面方程，即x-(y-1)+2(z-2)=0与已知直线联立，求得直线X-1/1=y-1/-1=z/2 与垂直平面的交点（3/2,1/2,1）所求直线过两交点（0，1，2）和（3/2,1/2,1）得所求直线为 x/3=y-1/-1=z-2/-2

习题5-6

2，写出下列曲线绕制定坐标轴旋转而得的旋转曲面方程

3，说明下列旋转曲面是怎样形成的

解：（1）xOy平面上椭圆

?绕x轴旋转而成；或者 xOz平面上椭圆绕x轴旋转而成

（2）xOy平面上的双曲线绕y轴旋转而成；或者 yOz平面上的双曲线

yz绕y轴旋转而成

（3）xOy平面上的双曲线122yx绕x轴旋转而成；或者 xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成

（4）yOz平面上的直线绕z轴旋转而成或者 xOz平面上的直线?绕z轴旋转而

习题5-6

4，将下列曲线的一般方程转化成参数方程

5.求下列曲线在xoy面上的投影曲线的方程

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