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1.方程化为A^T(AX-B)=0,表示的是A列向量的一个线性组合和B的差要和A列向量张成的列空间正交。这个一定有解,这个解就是B在A列空间上的正交投影。(你的线代书应该有的,因为这就是我线代书上的一道例题)
2.A、B是实对称阵,即它们可对角化。记A的特征向量为a1、a2、……、an,B的特征向量为b1、b2、……、bn。对某一向量e,A+B表示的变换是Ae+Be。又设
ai=ki1b1+ki2b2+……+kin把e表示为A特征向量的线性组合:e=x1a1+x2a2+……+xnan(不小心把字母弄重复了,A、B特征只的最大最小值记成pn、qn,p1、q1吧)。现在你可以利用e关于A特征向量的线性表达式先取A变换,再把结果表示成关B特征向量的线性表达式;然后再利用e关于B的特征向量的表达式取B变换;把得到的结果加起来,再对比变换后的e和原来的e在B的特征向量上的取值。如果我没算错的话,应该就能证明到了。
天晚了(或者说太早了,呵呵),我先睡睡再说。