某小区绿化(某小区绿化)

（1）在△ABC中，AB=2a，∠CAB=θ

所以AC=2acosθ，BC=2asinθ

因为正方形PQRS的边长为x

所以AC=

x

sinθ

+xcosθ，2acosθ=

x

sinθ

+xcosθ，

∴x=

2asin2θ

2+sin2θ

（2）因为△ABC中，AC=2acosθ，BC=2asinθ

所以s1=4a2sinθcosθ=2a2sin2θ

因x＝

2asin2θ

2+sin2θ

所以s2=

4a2(sin2θ)2

(2+sin2θ)2

因此“规划合理度”

s1

s2

?＝

(2+sin2θ)2

2sin2θ

，θ∈(0，

π

2

)

s1

s2

＝

(2+sin2θ)2

2sin2θ

＝

1

2

(

4

sin2θ

+sin2θ+4)≥

9

2

当且仅当sin2θ=1即θ=

π

4

时取得最小值

9

2

（1）如图，在Rt△ABC中，AC=20sinθ，AB=20cosθ，

S1＝

1

2

×202×sinθcosθ=100sin2θ，

设正方形的边长为x则BQ＝

x

tanθ

，RC＝xtanθ，

∴

x

tanθ

+x+xtanθ＝20，

∴x＝

20

1 tanθ +tanθ+1

=

20sin2θ

2+sin2θ

，S2＝x2＝(

20sin2θ

2+sin2θ

)2；

（2）t=sin2θ而S2=

202sin2θ

4+4sin2θ+sin22θ

∴

S1

S2

＝

1

4

(t+

1

t

+4)，

∵0＜θ＜

π

2

，又0＜2θ＜π，∴0＜t≤1∴f(t)＝

1

4

(t+

1

t

+4)为减函数

当t=1时

S1

S2

取得最小值为

3

2

此时sin2θ＝1∴θ＝

π

4

．

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