2012年普通高等学校招生全国统一考试福建卷（数学文）word版
数学试题（文史类）
第I卷（选择题?共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数（2+i）2等于
A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i
2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是
A.N?M B.M∪N=M C.M∩N=N D.M∩N={2}
3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是
A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0
4.?一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可一世
A?球? B? 三棱锥? C? 正方体?D?圆柱?
5?已知双曲线?-?=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于
A ? B C ?D ?
6? 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于?
A?-3? B? -10? C? 0 D? -2?
7.直线x+?-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于
A.? B?.?C.? D.1
8.函数f(x)=sin(x-?)的图像的一条对称轴是
A.x= B.x= C.x=- D.x=-?
9.设?,则f(g(π))的值为
A?1 ? B? 0 ?C? -1 ?D? π
10.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件?则实数m的最大值为
A.-1? B.1? C. D.2
11.数列{an}的通项公式?，其前n项和为Sn，则S2012等于
A.1006 B.2012 C.503 D.0
12.已知f（x）=x?-6x?+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.
其中正确结论的序号是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
13.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，?，则AC=_______。
14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。
15.已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________。
16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55.
（Ⅰ）求an和bn；
（Ⅱ）现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
18.(本题满分12分)
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
（I）求回归直线方程?=bx+a，其中b=-20，a=?-b?；
（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
19.（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点。
（1） 求三棱锥A-MCC1的体积；
（2） 当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC。
20.?（本小题满分13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
（4）sin2（-18°）+cos248°-?sin2（-18°）cos248°
（5）sin2（-25°）+cos255°-?sin2（-25°）cos255°
Ⅰ?试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数?
Ⅱ?根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。
21.（本小题满分12分）
如图，等边三角形OAB的边长为?，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。
（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。
22.（本小题满分14分）
已知函数?且在?上的最大值为?，
（1）求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
2012年普通高等学校招生全国统一考试福建卷（数学文）word版
数学试题（文史类）
第I卷（选择题?共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数（2+i）2等于
A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i
2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是
A.N?M B.M∪N=M C.M∩N=N D.M∩N={2}
3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是
A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0
4.?一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可一世
A?球? B? 三棱锥? C? 正方体?D?圆柱?
5?已知双曲线?-?=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于
A ? B C ?D ?
6? 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于?
A?-3? B? -10? C? 0 D? -2?
7.直线x+?-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于
A.? B?.?C.? D.1
8.函数f(x)=sin(x-?)的图像的一条对称轴是
A.x= B.x= C.x=- D.x=-?
9.设?,则f(g(π))的值为
A?1 ? B? 0 ?C? -1 ?D? π
10.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件?则实数m的最大值为
A.-1? B.1? C. D.2
11.数列{an}的通项公式?，其前n项和为Sn，则S2012等于
A.1006 B.2012 C.503 D.0
12.已知f（x）=x?-6x?+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.
其中正确结论的序号是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
13.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，?，则AC=_______。
14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。
15.已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________。
16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55.
（Ⅰ）求an和bn；
（Ⅱ）现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
18.(本题满分12分)
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
（I）求回归直线方程?=bx+a，其中b=-20，a=?-b?；
（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
19.（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点。
（1） 求三棱锥A-MCC1的体积；
（2） 当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC。
20.?（本小题满分13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
（4）sin2（-18°）+cos248°-?sin2（-18°）cos248°
（5）sin2（-25°）+cos255°-?sin2（-25°）cos255°
Ⅰ?试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数?
Ⅱ?根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。
21.（本小题满分12分）
如图，等边三角形OAB的边长为?，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。
（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。
22.（本小题满分14分）
已知函数?且在?上的最大值为?，
（1）求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
2005年江西高考数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 则
（A） （B） （C） （D）
2．设复数 若 为实数,则
（A） （B） （C） （D）
3．“ ”是“直线 与圆 相切”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
4． 的展开式中,含 的正整数次幂的项共有
（A）4项 （B）3项 （C）2项 （D）1项
5．设函数 ,则 为
（A）周期函数,最小正周期为 （B）周期函数,最小正周期为
（C）周期函数,最小正周期为 （D）非周期函数
6．已知向量 ,若 ,则 与 的夹角为
（A） （B） （C） （D）
7．已知函数 的图象如右图所示
（其中 是函数 的导函数）.下
面四个图象中 的图象大致是
8．若 ,则
（A） （B） （C） （D）
9．矩形ABCD中, ,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 ,则四面体ABCD的外接球的体积为
（A） （B） （C） （D）
10．已知实数 满足等式 ,下列五个关系式
① ② ③ ④ ⑤
其中不可能成立的关系式有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
11．在 中,O为坐标原点, ,则当 的面积达到最大值时,
（A） （B） （C） （D）
12．将 这 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为
（A） （B） （C） （D）
二．填空题：本大题共的小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上.
13．若函数 是奇函数,则
14．设实数 满足 ,则 的最大值是＿＿＿＿＿
15．如图,在直三棱柱 中,
分别为 的中点,沿棱柱的表面从
E到F两点的最短路径的长度为＿＿＿＿＿＿
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点, 为非零常数,若 ,则点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若 ,则动点P的轨迹为椭圆；
③方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线 与椭圆 有相同的焦点.
其中真命题的序号为＿＿＿＿＿＿＿＿（写出所有真命题的序号）.
三．解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数 为常数）,且方程 有两个实根为
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ,解关于 的不等式：
18．（本小题满分12分）
已知向量 ,令
是否存在实数 ,使 （其中 是 的导函数）？若存在,则求
出 的值；若不存在,则证明之.
19．（本小题满分12分）
A、B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A赢
得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达到9次时,或在此前某人已赢
得所有卡片时游戏终止.设 表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求 的取值范围；
（2）求 的数学期望
20．（本小题满分12分）
如图,在长方体 中, ,点E在棱AB上移动.
（1）证明： ；
（2）当EAB的中点时,求点E到面 的距离；
（3）AE等于何值时,二面角 的大小为 .
21．（本小题满分12分）
已知数列 的各项都是正数,且满足：
（1）证明
（2）求数列 的通项公式
22．（本小题满分14分）
如图,设抛物线 的焦点为F,动点P
在直线 上运动,过P作抛物线
C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切
于A、B两点
（1）求 的重心G的轨迹方程；
（2）证明
2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空题
13． 14． 15． 16．③④
三、解答题
17．解：（1）将 得
（2）不等式即为
即
①当
②当
③ .
18．解：
19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则 ，可得：
（2）
20．解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1= ，AD1= ，
故
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x
解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而 ，
，设平面ACD1的法向量为 ，则
也即 ，得 ，从而 ，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量 ，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴ （不合，舍去）， .
∴AE= 时，二面角D1—EC—D的大小为 .
21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以
,
又bn=－1，所以
22．解：（1）设切点A、B坐标分别为 ，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 ，
所以 ，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
（2）方法1：因为
由于P点在抛物线外，则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当 所以P点坐标为 ，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②当 时，直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
，同理可得到P点到直线BF的距离 ，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
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