2012高考数学试题及答案(2012年重庆市高考数学理科)

145分2012?重庆?过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A?B两点?若 ?则|AF|= ? 考点? 抛物线的简单性质。

分析? 设出点的坐标与直线的方程?利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题?即可得到答案? 解答? 解?由题意可得?F 0设A?x1?y1B?x2?y2 因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点? 所以|AF|= +x1?|BF|= +x2? 因为 ?所以x1+x2= 设直线l的方程为y=k?x?联立直线与抛物线的方程可得?k2x2k2+2?x+ =0? 所以x1+x2=? ∴ ∴k2=24 ∴24x2?26x+6=0? ∴ ? ∴|AF|= +x1= 故答案为? 5/6

（1）解：由题设知a^2=b^2+c^2，e=c/a，由点（1，e）在椭圆上，得（1/a^2）+（c^2/a^2b^2）=1，∴b=1，c^2=a^2-1

由点（e，√3/2）在椭圆上，得（e^2/a^2）+（3/b^2）=1

∴椭圆的方程为x^2/2+y^2=1

（2）解：由（1）得F1（-1,0），F2（1,0），

又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x-1=my

设A（X1，Y1），B（X2，Y2），Y1＞0，Y2＞0，

∴由x1^2/2+y1^2=1，x1+1=my1，可得（m^2+2）y1^2-2my1-1=0

∴y1=m+√（2m^2+2）/（m^2+2）

∴|AF1|=[√2（m^2+1）+m√（m^2+1）]/m^2+2······①

同理|BF2|=[√2（m^2+1）-m√（m^2+1）]/m^2+2······②

（i）由①②得|AF1|-|BF2|=[2m√（m^2+1）]/（m^2+2），∴[2m√（m^2+1）]/（m^2+2）=（√6）/2，解m^2=2.

∵注意到m＞0，∴m=√2．

∴直线AF1的斜率为1/m=（√2）/2.

（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴PB/PF1=BF2/AF1，即PF1=AF1/（AF1+BF2）×BF1.

由点B在椭圆上知，BF1+BF2=2√2，∴PF1=AF1/（AF1+BF2）×（2√2-BF2）.

同理PF2=BF2/（AF1+BF2）×（2√2-AF1）.

∴PF1+PF2=AF1/（AF1+BF2）×（2√2-BF2）+BF2/（AF1+BF2）×（2√2-AF1）=2√2-（2AF×BF2）/（AF1+BF2）

由①②得，AF1+BF2=2√2（m^2+1）/（m^2+2），AF1×BF2=（m^2+1）/（m^2+2）,

∴PF1+PF2=（3√2）/2.

∴PF1+PF2是定值.