如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
等比数列的通项公式是：
an=a1·qn-1
前n项和公式是：
在等比数列中，等比中项：
且任意两项am，an的关系为an=am·qn-m
如果等比数列的公比q满足0＜∣q∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各
项的和(又叫所有项的和)的公式为：
从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，则有：
ap·aq=am·an，
记πn=a1·a2…an，则有
π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。
数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。
三、 范例
例1．设ap，aq，am，an是等比数列中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证：apoaq=amoan
证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则
ap=a1·qp-1，aq=a1·qq-1，am=a1·qm-1，an=a1·qn-1
所以：
ap·aq=a12qp+q-2，am·an=a12·qm+n-2，
故：ap·aq=am+an
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：
a1+k·an-k=a1·an
对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：
a1+k+an-k=a1+an
例2．在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=
A.20 B.22 C.24 D28
解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得
5a8=120，a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。
故选C
例3．已知等差数列满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有( )
A.a1+a101＞0 B. a2+a100＜0 C.a3+a99=0 D.a51=51
[2000年北京春季高考理工类第(13)题]
解：显然，a1+a2+a3+…+a101
故a1+a101=0，从而a2+a100=a3+a99=a1+a101=0，选C
例4．设Sn为等差数列的前n项之各，S9=18，an-4=30(n＞9)，Sn=336，则n为( )
A.16 B.21 C.9 D8
解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+an-4=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B
例5．设等差数列满足3a8=5a13，且a1＞0，Sn为其前n项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是( )。 (1995年全国高中联赛第1题)
(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
解：∵3a8=5a13
∴3(a1+7d)=5(a1+12d)
故
令an≥0→n≤20；当n＞20时an＜0
∴S19=S20最大，选(C)
注：也可用二次函数求最值
例6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( )
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
[1997年全国高中数学联赛第3题]
解：设等差数列首项为a，公差为d，则依题意有( )
即[2a+(n-1)d]on=2×972 (*)
因为n是不小于3的自然数，97为素数，故数n的值必为2×972的约数(因数)，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。
若d＞0，则d≥1由(*)式知2×972≥n(n-1)d≥n(n-1)故只可能有n=97，(*)式化为：a+48d=97，这时(*)有两组解：
若d=0，则(*)式化为：an=972，这时(*)也有两组解。
故符今题设条件的等差数列共4个，分别为：
49，50，51，…，145，(共97项)
1，3，5，…，193，(共97项)
97，97，97，…，97，(共97项)
1，1，1，…，1(共972=9409项)
故选(C)
例7．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：
， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…
(第一组) (第二组) (第三组)
则1991位于第 组中。
[1991年全国高中数学联赛第3题]
解：依题意，前n组中共有奇数
1+3+5+…+(2n-1)=n2个
而1991=2×996-1，它是第996个正奇数。
∵312=961＜996＜1024=322
∴1991应在第31+1=32组中。
故填32
例8．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。
[1989年全国高中联赛试题第4题]
解：设该数为x，则其整数部分为[x]，小数部分为x-[x]，由已知得：x·(x-[x]=[x]2
其中[x]＞0，0＜x-[x]＜1，解得：
由0＜x-[x]＜1知，
∴[x]=1，
故应填
例9．等比数列的首项a1=1536，公比，用πn表示它的前n项之积，则πn(n∈N*)最大的是( )
(A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13
[1996年全国高中数学联赛试题]
解：等比数列的通项公式为，前n项和
因为
故π12最大。
选(C)
例10．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= 。
[1988年全国高中联赛试题]
解：依题意，有y-x=4(a2-a1) ∴；
又y-x=3(b3-b2) ∴
∴
例11．设x,y,Z是实数，3x,4y,5z成等比数列，且成等差数列，则的值是 。[1992年全国高中数学联赛试题]
解：因为3x,4y,5z成等比数列，所以有
3x·5z=(4y)2 即16y2=15xz ①
又∵成等差数列，所以有即②
将②代入①得：
∵x≠0,y≠0,z≠0
∴64xz=15(x2+2xz+z2)
∴15(x2+z2)=34xz
∴
例12．已知集合M={x,xy,lg(xy)}及N={0,∣x∣,y}
并且M=N，那么的值等于 。
解：由M=N知M中应有一元素为0，任由lg(xy)有意义知xy≠0，从而x≠0，且y≠0，故只有lg(xy)=0， xy=1，M={x,1,0}；若y=1，则x=1，M=N={0，1，1}与集合中元素互异性相连，故y≠1，从而∣x∣=1，x=±1；由x=1 y=1(含)，由x=-1 y=-1，M=N={0,1,-1}
此时，
从而
注：数列x，x2，x3，…，x2001；以及
在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，故2001并不可怕。
例13．已知数列满足3an+1+an=4(n≥1)且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式( )
∣Sn-n-6∣＜的最小整数n是( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解：[1994年全国高中数学联赛试题]
由3an+1+an=4(n≥1)
3an+1-3=1-an
故数列是以8为首项，以为公比的等比数列，所以
当n=7时满足要求，故选(C)
[注]：数列既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，…，1和等比数列： 的对应项的和构成的数列，故其前n项和Sn可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。
例14．设数列的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,…)，数列满足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,…)求数列的前n项和。
[1996年全国高中数学联赛第二试第一题]
解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，∴a1=1 ①
又Sn=2an-1 ②
Sn-1=2an-1-1 ③
②-③得：Sn-sn-1=2an-2an-1
∴an=2an-2an-1
故
∴数列是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2n-1 ④
由⑤
∴以上诸式相加，得
注：本题综合应用了a1-s1，a3=Sn-Sn-1(n≥2)以及等差数列、等比数列求和公式以及叠加等方法，从基本知识出发，解决了较为复杂的问题。选准突破口，发现化归途径，源于对基础知识的深刻理念及其联系的把握。
例15．n2个正数排成n行n列
a11，a12，a13，a14，…，a1n
a21，a22，a23，a24，…，a2n
a31，a32，a33，a34，…，a3n
a41，a42，a43，a44，…，a4n
an1，an2，an3，an4，…，ann。
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等。已知
[1990年全国高中数学联赛第一试第四题]
解：设第一行数列公差为d，纵行各数列公比为q，则原n行n列数表为：
故有：
②÷③得，代入①、②得④
因为表中均为正数，故q＞0，∴，从而，因此，对于任意1≤k≤n，有
记S=a11+a22+a33+…+ann ⑤
⑥
⑤-⑥得：
即
评注：本题中求和，实为等差数列an=n与等比数列的对应项乘积构成的新数列的前n项的和，将⑤式两边同乘以公比，再错项相减，化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前n项和的基本方法，它在解决此类问题中非常有用，应予掌握。课本P137复习参考题三B组题第6题为：求和：S=1+2x+3x2+…+nxn-1；2003年北京高考理工类第(16)题：已知数列是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求数列的通项公式；(II)令bn=an·xn(x∈R)，求数列的前n项和公式。都贯穿了“错项相减”方法的应用。
练习
1．给定公比为q(q≠1)的等比数列，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，…，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，…，则数列 ( )
(A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列
(C)是公比为q3的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列
[1999年全国高中数学竞赛题]
2．等差数列的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )
A．130 B．170 C．210 D．260
[1996年全国高考题]
3．等差数列中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于 。
[2002年北京高考理工数学第14题]
4．已知数列是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12
(I)求数列的通项公式；
(II)(文)令bn=an·3n，求数列的前n项和的公式；
(理)令bn=an·xn (x∈R)，求数列的前n项和的公式
[2003年北京夏季高考数学第16题]
5．求和：
(1)S=1+2x+3x2+…+nxn-1
[《数学》教科书第一册(上)P137复习参考题三B组题第6题]
(2)求数列：1，6，27，…，n-3n-1，的前n项之和Sn。
6．已知正整数n不超过2000，且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是 [1999年全国高中数学竞赛试题]
7．各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项。[1998年全国高中数学竞赛试题]
参考答案
1．(C)
2．(C)
3．4
4．(I)an=2n
(II)
5．
6．6个
7．8
北京高考分数总分一般是750分。
北京高考分数的总分是750分，其中，文化课占总分的600分，语文和数学各占总分的150分，外语、物理、化学、生物、历史、地理、政治各占总分的100分。另外，北京高考还有150分的综合素质评价部分，包括学业水平测试、综合素质考试、学科竞赛获奖等项目。
考试科目方面，北京高考的文化课在考试科目上并不局限于中文、数学、外语三个科目，而是增加了物理、化学、生物、历史、地理、政治六个其他科目的考试。这表明北京高考更加重视综合素质的考量，而不是片面地考核学生的语文、数学和外语能力。
北京高考还有艺术类、体育类和技能类考试等多个特色考试科目，使得不同类型学生都有所侧重。考试形式方面，北京高考引入了“综合素质评价”考试模块，而其他地方高考并没有此项测试。
综合素质评价不仅考查学生的文化素质水平，更是考查学生的综合素质、文化素养和综合能力。北京高考也在语文和英语科目中增加了听力、口语等项目的考查，从而更全面地考查学生的语言能力。招生政策方面，北京高考的招生政策相比其他省份也有所不同。
高考的意义：
高考是一种考试制度，通过考试将学生分配到不同的高等教育层次及专业。不仅是一种选拔人才的方式，更是社会公平的实现方式。通过高考的选拔机制，可以让优秀的学生获得更好的教育和发展机会，推动教育公平和社会进步。
高考在一定程度上也可以督促学生努力学习，提高知识水平和学习能力，促进自身发展。因此，高考具有重要的教育意义和社会意义。
以北京大学为例，北京高考不仅重视学生的文化成绩，也会考虑学生在综合素质方面的表现，如学科竞赛获奖、社会实践、文化艺术成就等。此外，北京高校还会对留学生、外语特长生等不同类型的学生有针对性的招生政策安排。
以上数据出自高考升学网。
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